La Segunda Ley para sistemas abiertos

La entropía generada en un volumen de control para un sistema abierto desde un tiempo $t$ hasta un tiempo $\Delta t$ la podemos representar como

$$\Delta S_{gen}=S_{\left( t+\Delta t\right) }-S_{\left( t\right) }... ...right) _{salida}\Delta t-\left( \overset{\cdot}{m}s\right) _{entrada}\Delta t%$$ (330)

donde $S_{\left( t\right) }$ y $S_{\left( t+\Delta t\right) }$ es la entropía del sistema en el tiempo $t$ y $\Delta t$ respectivamente, $\overset{\cdot}{Q}_{i}/T_{i}$ es la transferencia de entropía debido a la transferencia de calor del i-ésimo reservorio de calor, $\left( \overset{\cdot}{m}s\right) _{salida}\$y $\left( \overset{\cdot}% {m}s\right) _{entrada}$ son los flujos másicos de entrada y salida acompañados con su razón de entropía.

Tomando el límite $\Delta t\longrightarrow0$, y considerando la existencia de cualquier número de reservorios con transferencia de calor $\left( i\right)$ y flujos másicos de entrada y salida sobre la superficie de control, podemos escribir

$$\underset{<tex2html_comment_mark>2013 \begin{array}[c]{c}<tex2htm... ...ent_mark>2033 {\displaystyle\sum\limits_{entrada}} \overset{\cdot}{m}s}}\geq0%$$ (331)

Observemos que la transferencia de trabajo es la interacción de energía que no está acompañada de la transferencia de entropía.

Otro manera de escribir la ecuación antedicha es

$$\overset{\cdot}{S}_{gen}=\int_{\mathcal{V}}\frac{\partial\left( \... ...}\rho s\mathbf{v}<tex2html_comment_mark>2039 \cdot\mathbf{n}d\mathcal{A}\geq0%$$ (332)

donde $\mathcal{V}$ es el volumen de control ocupado por el sistema abierto, $\mathcal{A}$ es el área de la superficie de control, $\mathbf{q}$ es vector del flujo de calor, $\mathbf{v}$ es el vector de velocidad, $\mathbf{n}$ es el vector unitario normal y local a la superficie $\mathcal{A}.$

Con base en el teorema de la divergencia

$$\int_{\mathcal{V}}\nabla\cdot\mathbf{F}d\mathcal{V=}\int_{\mathcal{A}% }\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}d\mathcal{A}%$$

y considerando la ecuación de continuidad para un fluido incompresible podemos escribir

$$s_{gen}^{^{\prime\prime\prime}}=\rho\frac{Ds}{Dt}+\nabla\cdot\left( \frac {1}{T}\mathbf{q}\right) \geq0%$$ (333)

donde aparece la derivada temporal total de la entropía y la divergencia del flujo de calor.

Recordemos que el operador $D/Dt\left( \mathbf{\Omega}\right)$ representa toda la variación por unidad de tiempo de una determinada propiedad del fluido $\mathbf{\Omega}$ siguiendo a la partícula fluida, tal que

$$\frac{D}{Dt}\left( \mathbf{\Omega}\right) \equiv\frac{\partial\le... ...Omega}\right) }{\partial t}+\mathbf{v\cdot\nabla}\left( \mathbf{\Omega}\right)$$

El primer término del lado derecho representa la variación de la propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local, mientras que el segundo término de la derecha representa la variación de la propiedad asociado al cambio de posición de la partícula fluida, y se la denomina derivada convectiva.

Además, recordemos que la divergencia de un campo mide la tendencia de dicho campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos. La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:

$$div\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\lim_{\Delta\mathcal{V}\longrightarrow0}% {\displaystyle\oint_{A}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}%$$

donde $\mathcal{A}$ representa una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite $\Delta\mathcal{V}\longrightarrow0.$