La escala termodinámica de la temperatura

En las consideraciones que hemos tomado para un Ciclo de Carnot no hemos tomado en cuenta las propiedades de fluido de trabajo. Este no está limitado al uso de un gas ideal y puede ser cualquier medio. Si bien en las primeras secciones obtuvimos la eficiencia de Carnot considerando en un gas ideal, así como la definición de temperatura usando la ecuación del gas ideal estas no son esencialmente un fomalismo termodinámico. Más específicamente, podemos definir una escala de temperatura termodinámica que es independiente del fluido de trabajo. Para llevar a cabo esto, consideremos la situación que se muestra en la figura (58) que incluye tres ciclos reversibles. Se tiene un reservorio de calor de alta temperatura a $T_{1}$ y un reservorio de calor a baja temperatura $T_{3}$. Para cualesquiera dos temperaturas $T_{1}$ y $T_{2}$ la razón de las magnitudes de calor absorbido y expelido en el ciclo de Carnot tienen el mismo valor para todo el sistema

Figure 58: Arreglo de máquinas térmicas para mostrar la escala termodinámica de temperatura.

La transferencia de calor $Q_{1}$ es la misma en los ciclos A y C, también $Q_{3}$ es el mismo para los ciclos B y C. Para un ciclo de Carnot tenemos

$$\eta=1+\frac{Q_{L}}{Q_{H}}=F\left( T_{L},T_{H}\right)%$$ (271)

tal que $\eta$ es sólo función de la temperatura.

Del mismo modo podemos escribir

$$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} =F\left( T_{1},T_{2}\right)$$ (272)

$$\frac{Q_{2}}{Q_{3}} =F\left( T_{2},T_{3}\right)$$ (273)

$$\frac{Q_{1}}{Q_{3}} =F\left( T_{1},T_{3}\right)%$$ (274)

y también podemos escribir la relación

$$\frac{Q_{1}}{Q_{3}}=\frac{Q_{1}}{Q_{2}}\frac{Q_{2}}{Q_{3}}%$$ (275)

tal que, al comparar esta última con las funciones de temperatura antedichas se tiene que

$$\underset{\text{No es funci\'{o}n de T}_{2}}{\underbrace{F\left( ... ...left( T_{1},T_{2}\right) \right] \left[ F\left( T_{2},T_{3}\right) \right] }}%$$ (276)

De esta manera concluimos que $F\left( T_{1},T_{2}\right)$ debe ser de la forma $f\left( T_{1}\right) /f\left( T_{2}\right)$, análogamente se tiene $F\left( T_{2},T_{3}\right) =f\left( T_{2}\right) /f\left( T_{3}\right)$. La razón del intercambio de calor es por tanto

$$\frac{Q_{1}}{Q_{3}}=F\left( T_{1},T_{3}\right) =\frac{f\left( T_{1}\right) }{f\left( T_{3}\right) }%$$ (277)

En general

$$\frac{Q_{H}}{Q_{L}}=F\left( T_{H},T_{L}\right) =\frac{f\left( T_{H}\right) }{f\left( T_{L}\right) }%$$ (278)

de modo que el cociente de la transferencia calor es una función de la temperatura. Podríamos elegir cualquier función que sea monotónica, y la opción más simple es: $f(T)=T$ . Ésta es la escala termodinámica de la temperatura $Q_{H}/Q_{L}=T_{H}/T_{L}$. La temperatura definida de esta manera es la misma que la de un gas ideal; la escala de temperatura termodinámica y la escala del gas ideal son equivalentes.