Limitaciones en el trabajo que puede proveer una máquina térmica

La segunda ley nos permite hacer un enunciado poderoso y general concerniente al máximo trabajo que se puede obtener de una máquina térmica que opera en un ciclo. Para ilustrar estas ideas, usemos el Ciclo de Carnot en una Máquina de Carnot como se muestra en la figura (57)

Figure 57: Máquina de Carnot

La máquina opera entre dos reservorios de calor, transfiriendo calor tanto $Q_{H}$ en el reservorio de alta temperatura a $T_{H}$ con $Q_{L}$ en el reservorio $T_{L}$ de baja temperatura. Los cambios de entropía en los reservorios son

$$\Delta S_{H}=\frac{Q_{H}}{T_{H}}, Q_{H}<0%$$ (255)

y

$$\Delta S_{L}=\frac{Q_{L}}{T_{L}}, Q_{L}>0%$$ (256)

Los mismos intercambios de calor se aplican al sistema pero con signos contrarios. Denotando el calor transferido hacia la máquina por le subíndice $e$

$$Q_{He} =-Q_{H}$$ (257)

$$Q_{Le} =-Q_{L}%$$ (258)

El cambio total de entropía durante la operación de la máquina es

$$\Delta S_{Total}=\Delta S_{H}+\Delta S_{L}=\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{Q_{L}<tex2html_comment_mark>1788 }{T_{L}}%$$ (259)

Para la máquina se opera en un ciclo podemos escribir por Primera Ley

$$\Delta U_{e} =0$$

$$=Q_{H_{e}}+Q_{Le}-W_{e}%$$ 0 (260)

o bien

$$W_{e} =Q_{H_{e}}+Q_{Le}$$

$$=-Q_{H}-Q_{L}%$$ (261)

Así podemos escribir

$$W_{e} =-Q_{H}-T_{L}\Delta S_{Total}+Q_{H}\left( \frac{T_{L}}{T_{H}<tex2html_comment_mark>1792 }\right)$$

$$=-Q_{H}\left[ 1-\left( \frac{T_{L}}{T_{H}}\right) \right] -T_{L}\Delta S_{Total}%$$ (262)

El trabajo de la máquina térmica se puede expresar en términos del calor recibido tal que,

$$W_{e}=Q_{He}\left[ 1-\left( \frac{T_{L}}{T_{H}}\right) \right] -T_{L}\Delta S_{Total}%$$ (263)

El límite superior de trabajo que se puede realizar ocurre en un ciclo reversible. para el cual el cambio de entropía $\left( \Delta S_{Total}\right)$ es cero. En tal situación el máximo trabajo extraible entre $T_{H}$ y $T_{L}$ es

$$W_{e}=Q_{He}\left[ 1-\left( \frac{T_{L}}{T_{H}}\right) \right] %$$ (264)

También para un ciclo reversible se tiene que

$$\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{Q_{L}}{T_{L}}=0%$$ (265)

Estas restricciones o límites se aplican a todas las máquinas reversible operando cíclicamente en dos temperaturas fijas. La eficiencia térmica está dada por

$$\eta_{th}=\frac{\text{Trabajo realizado}}{\text{Calor recibido}}=\frac{W_{e}<tex2html_comment_mark>1798 }{Q_{He}}%$$ (266)

y se conoce como la eficiencia de Carnot a la de un ciclo reversible tal que

$$\eta_{Carnot}=1-\frac{T_{L}}{T_{H}}%$$ (267)

La eficiencia de Carnot en así la eficiencia máxima que puede ocurrir en una máquina térmica operando entre dos temperaturas.

Este último punto lo podemos analizar de otra manera. El trabajo de la máquina esta dado por

$$W_{e}=-Q_{H}-T_{L}\Delta S_{Total}+Q_{H}\left( \frac{T_{L}}{T_{H}}\right) %$$ (268)

es decir

$$T_{L}\Delta S_{Total}=-Q_{H}+Q_{H}\left( \frac{T_{L}}{T_{H}}\right) -W_{e} %$$ (269)

El cambio total de entropía se puede escribir en términos de la eficiencia del Ciclo de Carnot y la razón del trabajo realizado y el calor absorbido por la máquina térmica, esta última es la eficiencia de cualquier ciclo pueda realizar

$$\Delta S_{Total} =\frac{Q_{H_{e}}}{T_{L}}\left[ 1-\frac{T_{L}}{T_{H}<tex2html_comment_mark>1804 }-\frac{W_{e}}{Q_{H_{e}}}\right]$$

$$=\frac{Q_{H_{e}}}{T_{L}}\left[ \eta_{\text{Carnot}}-\eta_{\text{cualquier otro ciclo }}\right]%$$ (270)

La segunda ley dice que el cambio total de la entropía es igual o mayor qua o cero. Esto significa que la eficiencia del ciclo de Carnot es igual o mayor que la eficiencia para cualquier otro ciclo. Para que la eficiencia de cualquier otro ciclo sea igual a la de Carnot $\Delta S_{Total}=0.$