Cálculo del cambio de la entropía en algunos procesos básicos

1. Transferencia de calor desde o hacia un reservorio de calor

Un reservorio de calor (figura (52)) está a una temperatura constante como fuente o sumidero de calor. Ya que la temperatura es uniforme, no hay transferencia de calor a través de un diferencia finita de temperaturas y el intercambio de calor es reversible. De la definición de entropía $\left( dS=dQ_{rev}/T\right)$

$$\Delta S=\frac{Q}{T}%$$ (239)

donde $Q$ es el calor en el reservorio (definido aquí como positivo si el calor fluye en el reservorio.

Figure 52: Calor transferido desde/hacia el recervorio de calor

2. Transferencia de calor entre dos reservorios de calor

El cambio de entropía de los dos reservorios en la figura () es la suma del cambio de entropía de cada uno. Si el reservorio de alta temperatura está a$T_{H}$ y el reservorio de baja temperatura esta a $T_{L}$, el cambio total de entropía es

$$\Delta S=\left( \frac{-Q}{T_{H}}\right) +\left( \frac{Q}{T_{L}}\right) =\frac{Q}{T_{H}T_{L}}\left( T_{H}-T_{L}\right)%$$ (240)

Figure 53: Transferencia de calor entre dos reservorios

La Segunda Ley dice que el cambio de la entropía debe ser igual a o mayor que cero. Esto corresponde al enunciado que el calor debe fluir de la fuente con temperatura más alta hacia la fuente con temperatura más baja. Éste es una de las declaraciones de la Segunda Ley dada en las secciones anteriores.

3. Posibilidad de tener trabajo cíclico desde un reservorio de calor.

Podemos ver el proceso propuesto en la figura (54) como la absorción del calor $Q$, por un dispositivo o un sistema, funcionando en un ciclo, sin expeler ningún calor y realizando trabajo. El cambio total de la entropía es la suma del cambio en el reservorio, el sistema o dispositivo, y los alrededores. El cambio de la entropía del depósito es $\Delta S=-Q/T_{H}$ El cambio de la entropía del dispositivo es cero, porque suponemos un ciclo completo (de regreso al estado inicial) y la entropía es una función de estado. Los alrededores reciben solamente trabajo así que el cambio de la entropía de los alrededores es cero. El cambio total de la entropía es

$$\Delta S_{Total} =\Delta S_{reservorio}+\Delta S_{dispositivo}+\Delta S_{alrededores}$$

$$=-Q/T_{H}+0+0%$$ (241)

Figure 54: Trabajo de un solo depósito del calor.

Observemos que el cambio total de la entropía en el proceso propuesto es menor que cero,

$$\Delta S_{Total}<0%$$ (242)

que es imposible pues viola la Segunda Ley, así esto nos dice que es imposible obtener trabajo de un solo depósito únicamente si el dispositivo opera cíclicamente. En este caso la palabra únicamente significa que no ocurra ningún otro cambio.

4. Cambio de entropía en el problema del ladrillo o bloque caliente.

La temperatura de los ladrillos o bloques se iguala

Figure 55: Los bloques igualan su temeperatura.

y los reservorios usados en las trasfromaciones reversibles de estado.

Figure 56: Los reservorios usados para restablecer el estado inicial

Podemos examinar de una manera más cuantitativa los cambios que ocurren cuando ponemos dos ladrillos juntos, como se muestra en la figura (55). El proceso por el cual los dos ladrillos llegan a la misma temperatura no es un proceso reversible, así que necesitamos idear una trayectoria reversible. Para hacer esto imaginemos un número grande de reservorios de calor que varían su temperatura en un pequeñísimo rango tal como se muestra en la figura (56) $T_{H}-dT,...,T_{L}% +dT$. Los ladrillos se ponen e contacto con ellos sucesivamente para incrementar la temperatura de uno con más baja temperatura a otro de manera reversible. La transferencia de calor de cualquiera de estos pasos está dada por $dQ=CdT$. Para el ladrillo de alta temperatura, el cambio de la entropía es

$$\Delta S_{\text{hot brick}}=\int_{T_{H}}^{T_{M}}\frac{CdT}{T}=C\ln\left( \frac{T_{M}}{T_{H}}\right)%$$ (243)

donde $C\left[ \operatorname{J}% \operatorname{kg}% ^{-1}\right]$ es la capacidad calorífica. Se puede observar que esta cantidad es menor que cero.

Para el ladrillo a baja temperatura es entonces

$$\Delta S_{\text{cold brick}}=\int_{T_{L}}^{T_{M}}\frac{CdT}{T}=C\ln\left( \frac{T_{M}}{T_{L}}\right)%$$ (244)

Así, el cambio de entropía de los dos ladrillos es

$$\Delta S_{\text{bricks}}=C\left[ \ln\left( \frac{T_{M}}{T_{H}}\ri... ...C\ln\left( \frac{T_{M}^{2}<tex2html_comment_mark>1728 }{T_{H}T_{L}}\right) >0%$$ (245)

Queda demostrado que el proceso no es reversible.

5. Diferencia entre la expansión libre y la expansión isotérmica reversible de un gas ideal

La diferencia esencial entre una expansión libre en un confinamiento aislado y la expansión isotérmica reversible de un gas ideal se puede ver claramente en términos de los cambios de entropía. Para un cambio de estado de un volumen inicial y temperatura inicial $V_{1}$ y $T_{1}$ a uno final con volumen $V_{2}$ y misma temperatura $T_{1}$ el cambio en la entropía es

$$\Delta S=\int_{1}^{2}ds=\int_{1}^{2}\frac{dU}{T}+\int_{1}^{2}\frac{PdV}{T} %$$ (246)

y haciendo uso la ecuación estado y el hecho que $dU=0$ para un proceso isotérmico.

$$\Delta S=N\mathfrak{R}\ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)%$$ (247)

Este es el cambio de entropía que ocurre para la expansión libre así como para el proceso de expansión isotérmica reversible, es importante mantener en mente que los cambios de entropía son cambios de estado y en este caso para los dos sistemas el estado final son iguales para ambos procesos.

Para la expansión libre

$$\Delta S_{sistema} =N\mathfrak{R}\ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)$$ (248)

$$\Delta S_{alrededores} =0%$$ (249)

No hay cambio en la entropía de los alrededores porque no hay interacción entre el sistema y los alrededores. El cambio total de la entropía está por lo tanto,

$$\Delta S_{Total}=\Delta S_{sistema}+\Delta S_{alrededores}=N\mathfrak{R}<tex2html_comment_mark>1736 \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right) >0%$$ (250)

Hay varios puntos que notar en este resultado:

1 $\Delta S_{Total}>0$ así que el proceso es irreversible.

2. $\Delta S_{Total}>\int_{1}^{2}dQ/T=0,$ la igualdad entre $\Delta S$ y $dQ$ es sólo para un proceso reversible.

3. Hay una conexión directa entre el trabajo necesitado para restaurar el sistema al estado original y al cambio de la entropía:

$$W=N\mathfrak{R}\ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right) =T\Delta S_{2-1} %$$ (251)

La cantidad $T\Delta S$ tiene un significado físico como trabajo perdido en el sentido del trabajo que perdimos la oportunidad de utilizar.

Para la extensión isotérmica reversible

La entropía es una variable del estado así que el cambio de la entropía del sistema es igual que antes. En este caso, sin embargo, se transfiere calor al sistema desde los alrededores, $\left( Q_{alrededores}% <0\right)$ así que

$$\Delta S_{alrededores}=\frac{Q_{alrededores}}{T}<0%$$ (252)

El calor transferido de los alrededores, sin embargo, es igual al calor recibido por el sistema: $Q_{alrededores}=Q_{sistema}=W$

$$\Delta S_{alrededores}=\frac{Q_{alrededores}}{T}=-\frac{W}{T}=-N\mathfrak{R}<tex2html_comment_mark>1744 \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)%$$ (253)

El cambio total en la entropía (sistema más alrededores) está por lo tanto

$$\Delta S_{Total}=\Delta S_{sistema}+\Delta S_{alrededores}=\frac{Q}{T}<tex2html_comment_mark>1747 -\frac{Q}{T}=0%$$ (254)

El proceso es reversible ya que el cambio total de entropía es cero.