Cambios de la entropía en un gas ideal

Muchas aplicaciones en la ingeniería involucran flujo de gases (como aire). Enseguida examinamos las relaciones de la entropía para el comportamiento de un gas ideal. Para comenzar con este punto utilizamos la ecuación de Gibbs de la forma

$$du=Tds-Pdv%$$ (221)

Para un gas ideal, sabemos que $du=c_{v}dT$, tal que podemos escribir

$$Tds =c_{v}dT+Pdv$$

$$ds =c_{v}\frac{dT}{T}+\frac{P}{T}dv%$$ (222)

Utilizando la ecuación de estado para un gas ideal $\left( Pv=RT\right)$, podemos escribir el cambio de entropía como una expresión con sólo diferenciales exactas,

$$ds=c_{v}\frac{dT}{T}+R\frac{dv}{v}%$$ (223)

Esta relación la podemos ver como la fracción del cambio de temperatura a la fracción del cambio de volumen, con factores de escala $c_{v}$ y $R$ ; si el volumen se incrementa sin un decaimiento proporcional de la temperatura (como en el caso de una expansión libre adiabática), entonces $s$ se incrementa. Al integrar esta ecuación entre los estados 1 y 2 tenemos

$$\Delta s=s_{s}-s_{1}=\int_{T_{1}}^{T_{2}}c_{v}\frac{dT}{T}+R\int_{v_{1}<tex2html_comment_mark>1598 }^{v_{2}}\frac{dv}{v}%$$ (224)

Para un gas perfecto con calores específicos constantes

$$\Delta s=s_{s}-s_{1}=c_{v}\ln\left( \frac{T_{2}}{T_{1}}\right) +R\ln\left( \frac{v_{2}}{v_{1}}\right)%$$ (225)

En forma adimensional, usando $R/c_{v}=\left( \gamma-1\right)$

$$\frac{\Delta s}{c_{v}}=\ln\left( \frac{T_{2}}{T_{1}}\right) +\left( \gamma-1\right) \ln\left( \frac{v_{2}}{v_{1}}\right)%$$ (226)

que es una ecuación en términos de cantidades específicas.

Para N moles de gas se tiene que

$$\frac{\Delta S}{C_{v}}=N\left[ \ln\left( \frac{T_{2}}{T_{1}}\right) +\left( \gamma-1\right) \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right) \right] %$$ (227)

y esta expresión permite calcular el cambio de entropía en términos de la temperatura y el volumen. Podemos desarrollar un forma alternativa en términos de la presión y del volumen. La ecuación de estado del gas ideal puede escribirse como

$$\ln P+\ln v=\ln R+\ln T%$$ (228)

Tomando las diferenciales a ambos lados de la ecuación obtenemos

$$\frac{dP}{P}+\frac{dv}{v}=\frac{dT}{T}%$$ (229)

y al utilizar esta ecuación en $ds=c_{v}\left( dT/T\right) +R\left( dv/v\right)$ y considerando que $c_{p}=c_{v}+R$; y $c_{p}/c_{v}=\gamma$, encontramos que

$$ds=c_{v}\left[ \frac{dP}{P}+\frac{dv}{v}\right] +R\frac{dv}{v}%$$ (230)

o

$$\frac{ds}{c_{v}}=\frac{dP}{P}+\gamma\frac{dv}{v}%$$ (231)

al integrar entre los estados 1 y 2

$$\frac{\Delta s}{c_{v}}=\ln\left( \frac{P_{2}}{P_{1}}\right) +\gam... ...n\left[ \frac{P_{2}}{P_{1}}\left( \frac{v_{2}}{v_{1}}\right) ^{\gamma}\right]%$$ (232)

y simplificando llegamos a

$$\frac{P_{2}v_{2}^{\gamma}}{P_{1}v_{1}^{\gamma}}=\exp\left( \frac{\Delta s}{c_{v}}\right)%$$ (233)

Esta ecuación describe un proceso general. Para la situación particular en la cual $\Delta s=0$, es decir, la entropía es constante, recuperamos la expresión $Pv^{\gamma}=constante$ Se indico que esta expresión se aplica a un proceso reversible adiabático. Ahora vemos, con el uso de la Segunda Ley, un significado más profundo de la expresión, y al concepto de un proceso adiabático reversible, con una entropía constante, es decir un proceso isentrópico.