Los puntos complicados del capítulo 3

1. Cómo podemos idealizar la adición de combustible como si se tratara de adición de calor?

Recordemos que la validez de una aproximación se basa en la utilidad que tiene como respuesta a la situación física real. Buscamos básicamente un sólo enfoque concerniente con las condiciones de salida e la cámara de combustión, a saber, la temperatura de salida o la entalpía de salida. El estado final es independiente de como se agrega al calor y depende solamente si agregamos calor. Si esta adición de calor se realiza a través de una resistencia eléctrica o por combustión, y si despreciamos los cambios en la constitución del gas debido a los productos de la combustión (la mayor parte del gas es nitrógeno) la entalpía es la misma no importa cómo se logre el aumento de temperatura.

2. Puesto que para un ciclo termodinámico $\eta=1-T_{1}/T_{2}$ y observado un diagrama $P-V$, Podemos concluir que al alejar o separar las isoterrmas $T_{1}$ y $T_{2}$, la eficiencia aumenta mientras que al acercarlas demasiado el ciclo sería muy ineficiente?

Esto es correcto. Debemos tener en mente que existe una eficiencia realizable máxima. No podemos convertir todo el calor absorbido $Q_{A}$ en 100% trabajo, es decir, una cantidad de calor $Q_{R}$ siempre es expelida. Dicha cantidad de calor es

$$\frac{Q_{R}}{Q_{A}} =-\frac{T_{1}}{T_{2}}$$

$$Q_{R} =-Q_{A}\frac{T_{1}}{T_{2}}%$$ (178)

Así, para valores dados de $T_{2}$ y $Q_{A}$, $Q_{R}$ depende solamente del reservorio de baja temperatura $T_{1}$.el cuál esta limitado por las condiciones naturales del ambiente o medio. Las temperaturas involucradas estarán siempre por arriba del cero absoluto y no existe forma de reducir a valores despreciables el valor de $Q_{R}$. Por lo que la eficiencia del ciclo de Carnot no puede ser la unidad. Es claro que $\eta=1$ sólo si $Q_{R}=0$ que resulta imposible.

3. En el ciclo de Carnot, por qué nos ocupamos solamente de los cambios de volumen y no de los cambios en la presión en las adiabáticas e isotermas?

No estamos despreciando los términos de la presión ni dejamos de largo los cambios en la presión. En el proceso adiabático sabemos que $dq=0$ así que para un proceso reversible podemos escribir para la Primera Ley que $du=Pdv$ y usando de la entalpía como $dh=vdP$. Con $dh=C_{p}dT$ y $du=c_{v}dT$ para un gas ideal, podemos escribir la razón $dh/du$ como

$$\frac{dh}{du}=\frac{c_{p}}{c_{v}}=\gamma=-\frac{vdP}{Pdv}%$$ (179)

que al ordenar términos obtenemos

$$\frac{dP}{P}=-\gamma\frac{dv}{v}%$$ (180)

como se obtuvo en las secciones anteriores.

Para un proceso podemos integrar desde el estado $1$ hasta el estado $2$ y obtener que

$$P_{2}v_{2}^{\gamma}=P_{1}v_{1}^{\gamma}%$$ (181)

por lo que

$$Pv^{\gamma}= %$$ (182)

Esta relación muestra como los cambios de presión y volumen se relacionan entre sí en un proceso reversible adiabático.

Durante un proceso isotérmico, la temperatura permanece constante. Utilizando la ecuación de estado para un gas ideal $Pv=RT$ $,$se tiene que $Pv=$constante en una isoterma. De nueva cuenta, esta relación nos muestra como los cambios de presión están relacionados a los cambios de volumen durante el proceso isotérmico. Observe que en el diagrama $P-V$ las ramas adiabáticas ( $Pv^{\gamma}=$constante) tienen mayor pendiente que las isotermas ($Pv=$constante).

4. Hay alguna aplicación física para el ciclo de Carnot? Se podría diseñar una máquina de Carnot para un dispositivo de propulsión?

Veremos que el ciclo de Carnot es el mejor en términos de la eficiencia. Es un proceso de transferencia de calor a temperatura constante, sin embargo, es difícil obtener en la práctica para los dispositivos en los cuales se requieren potencias grandes. El papel principal de la máquina de Carnot es por lo tanto como estándar de comparación de otros ciclos y mostrar la dirección en la que deben ir los diseño de ciclos eficientes.

5. Cómo sabemos cuales ciclos son usados como modelos de procesos reales?

Podemos ver que un ciclo de Carnot no es una buena descripción de una turbina de gas. Podemos adelantarnos y decir que el ciclo Brayton o el ciclo Rankine son empleados en máquinas de combustión interna.

6. Cómo se calcula $\Delta h_{\text{combustible}}$?

Existen modelos que permiten el cálculo de este parámetro, y comúnmente se tienen valores tabulados obtenido scomo resultados experimentales.

7. Qué son las condiciones estequeométricas?

La estequiometria es la parte de la química que se ocupa de la investigación de las proporciones en que se combinan las sustancias. Por ejemplo, la proporción de combustible y aire que se deben combinar para que no haya un exceso de uno o de otro durante la combustión.

8. Cuando y donde se usa $c_{v}$ y $c_{p}$?

Recordemos que $c_{p}$ es el calor específico a presión constante y para un gas ideal siempre se tiene que $dh=c_{p}dT$. Mientras que $c_{v}$ es el calor específico a volumen constante $du=c_{v}dT.$ Si pensamos cómo mediríamos el calor específico $c=q/(T_{final}% -T_{inicial})$ para un cierto cambio de estado conocido podríamos hacer los siguientes experimentos.

Para un proceso durante el cual el calor $\Delta q$ se transfiere (reversiblemente) y el volumen permanece constante (v. g. un contenedor rígido cerrado que es llenado con una sustancia, o el calor transferido in una máquina Otto durante la combustión - el pistón esta en el punto muerto superior y el volumen es aproximadamente constante durante la transferencia de calor) la primera ley es $du=dq$ ya que $v=cte$. Utilizando la definición de $du=c_{v}dT$ obtenemos el calor específico volumen constante

$$c_{v}=\frac{\Delta q}{\Delta T}%$$ (183)

donde se puede medir tanto la transferencia de calor $\Delta q$ como la diferencia de temperaturas $\Delta T$.

Similarmente podemos hacer un experimento involucrando un proceso donde la presión se mantiene constante durante la transferencia de calor reversible $\Delta q$ (v. g. un envase o contenedor rígido que está lleno de una sustancia y dicho contenedor es cerrado con émbolo o tapa con un cierto peso. o la transferencia de calor en una cámara de combustión de una turbina donde la presión es aproximadamente constante durante la adición de calor). La primera ley pude escribirse en términos de la entalpía como $dh-vdP=dq$ ya que $P$es constante obtenemos que $dh=dq$. Utilizando la definición de $dh=c_{p}dT$ obtenemos el calor específico a presión constante

$$c_{p}=\frac{\Delta q}{\Delta T}%$$ (184)

9. Se puede operar en reversa el ciclo Brayton y ser usado como refrigerador?

Si. De hecho en criogenia el ciclo Brayton de opera en sentido contrario para enfriar un sistema donde se requieren temperatura muy bajas. Una diferencia importante entre el ciclo Brayton operado como máquina y operado como refrigerador es el tipo de fluido térmico utilizado.         

Temperaturas extremadamente bajas se pueden alcanzar al usar un regenerador - un intercambiador de calor que precalienta el líquido antes de que entre al compresor y enfría el líquido antes de que entre en la turbina.

10. Cuando el flujo se acelera en una boquilla o estrangulamiento qué ocurre con la energía interna y la entalpía?

De hecho se reduce tanto la entalpía como la energía interna. La que se mantiene constante es la entalpía de estancamiento.

11. Por qué decimos que la combustión en una turbina de gas ocurre a presión constante?

Esto es una aproximación, y una pregunta clave es qué tan exacta es esta aproximación y cuál es su justificación. El cambio de la presión en el quemador se puede analizar usando la ecuación de flujo compresible unidimensional. La ecuación de momento es $dP=-\rho cdc$ donde $c$ es la velocidad. Al dividir ambos lados por $P$ obtenemos

$$\frac{dP}{P} =-\frac{\gamma}{\gamma}\frac{c}{c}\frac{\rho cdc}{p}<tex2html_comment_mark>1275 =-\frac{\gamma c^{2}}{\gamma P/\rho}\frac{dc}{c}$$

$$=-\frac{\gamma c^{2}}{a}\frac{dc}{c}=-\gamma M^{2}\frac{dc}{c}%$$ (185)

donde $a$ e la velocidad del sonido y $M$ es le número de Mach

Los cambios en la velocidad son debidos a los cambios en la densidad y el flujo a través del área A esta dado por

$$\rho cA= %$$ (186)

                

Por lo tanto

$$\ln\rho+\ln c+\ln A=cte%$$ (187)

diferenciando obtenemos

$$\frac{d\rho}{\rho}+\frac{dc}{c}+\frac{dA}{A} =0$$

$$\frac{dc}{c} =-\left( \frac{dA}{A}+\frac{d\rho}{\rho}\right)%$$ (188)

Los cambios de velocidad son entonces relacionados con el cambio en el área (geometría) y los cambios en la densidad (básicamente por le adición de calor). Para un proceso de combustión en la turbina de gas el cambio en densidad es comparable con (una fracción significativa de) la densidad inicial y el cambio del área que es varias veces el área inicial. Esto significa que el cambio en la velocidad dividido por la velocidad inicial es significativo en un orden de magnitud. La ecuación de momento indica que para números de Mach pequeños (digamos 0.1) el cociente $dP/P$ será menor que uno, así que la presión se puede considerar como constante. En realidad la presión cae quemador, pero la caída total de la entrada y la salida es cercana a $3-4\%$, que resulta pequeño comparado con el valor inicial de la presión, de modo que la aproximación de la presión constante resulta muy útil y adecuada..

La rapidez del proceso de combustión realmente no tiene que ver con esta aproximación. Podríamos tener un proceso, tal como un inyector, en el cual existe combustión al mismo tiempo que la presión decae. Como se observa de la ecuación de momento, el calor adicionado no afecta directamente la presión ya que los cambios de presión están asociados con los cambios en la velocidad.