Procesos adiabático reversibles para un gas ideal

De la primera ley con $Q=0$, $du=c_{v}dT$ y $W_{rev}=Pdv$

$$du+Pdv=0%$$ (86)

y usando la definición de entalpía

$$dh=\left( du+Pdv\right) +vdP%$$ (87)

los términos entre paréntesis son ceo para un proceso adiabático,así que

$$\gamma c_{v}dT=-\gamma Pdv%$$ (88)

$$c_{p}dT=vdP%$$ (89)

combinando las ecuaciones antedichas obtenemos

$$-\gamma Pdv=vdP -\gamma\frac{dv}{v}=\frac{dP}{P} %$$ (90)

y al integrar entre los estados $1$ y $2$ obtenemos

$$-\gamma\ln\left( \frac{v_{2}}{v_{1}}\right) =\ln\left( \frac{P_{2}}{P_{1}<tex2html_comment_mark>587 }\right)%$$ (91)

o de manera equivalente

$$\frac{P_{2}v_{2}^{\gamma}}{P_{1}v_{1}^{\gamma}}=1%$$ (92)

Podemos substituir para $P$ o $v$ en el resultado anterior usando la ley de gas ideal y mostrar que

$$\frac{P_{2}}{P_{1}}=\left( \frac{T_{2}}{T_{1}}\right) ^{\frac{\gamma}<tex2html_comment_mark>591 {\gamma-1}} \frac{T_{2}}{T_{1}}=\left( \frac{v_{2}}{v_{1}<tex2html_comment_mark>592 }\right) ^{\gamma-1}%$$ (93)

Utilizaremos las ecuaciones desarrolladas para relacionas la presión y la temperatura una con otra en procesos adiabáticos cuasiestáticos (por ejemplo, este tipo de proceso es un idealización de lo que sucede en compresores y turbinas).

ACTIVIDADES

1. Considere un diagrama $P-v$ para un sistema cerrado. Describa las trayectorias o rutas que el sistema seguirá si se expande desde un volumen $v_{1}$ hasta un volumen $v_{2}$ para proceso isotérmico, un proceso cuasiestático y un procesa adiabático.

2. Para qué proceso el sistema realiza más trabajo?

3 Para qué proceso hay intercambio de calor? Se agrega o se quita?

4. Es el estado final del sistema el mismo después de cada proceso?

5. Obtenga las expresiones para el trabajo realizado por el sistema para cada uno de los procesos antedichos.