El calor específico: la relación entre el cambio de temperatura y el calor

El incremento en la temepratura debido a la transferida de calor depende de la sustancia, en general,

$$Q=C\Delta T%$$ (57)

donde C es una constante que depende de la sustancia de que se trate. Podemos determinar dicha constante para cualquier sustancia si conocemos la cantidad de calor transferido y su cambio de temperatura. Si bien el calor depende de la trayectoria debemos especificar plenamente el proceso con la finalidad de determinar $C$.

Para determinar la transferencia de calor en el cálculo de $C$ se tienen dos procesos muy útiles: proceso a presión constante y proceos a volumen constante. Designamos la capacidad calorífica a presión constante mediante $C_{p}$, y la capacidad calorífica a volumen constante mediante $C_{v}$ o bien como calor específico como $c_{p}$ y $c_{v}$ (por unidad de masa).

1. El calor específico a volumen constante

Recordemos que si se tienen cualesquiera dos propiedades del sistema, entonces el estado del sistema está determinado completamente. Es decir podemos escribir

$$\left. \begin{array}[c]{c}<tex2html_comment_mark>530 u=u\left( T,v\right) \\ u=u\left( P,v\right) \\ u=u\left( P,T\right) \end{array} \right\}%$$ (58)

Si consideramos $u=u\left( T,v\right)$ y utilizamos la regla de la cadena para describir $du$ con respeco a los cambios de $T$ y $v$:

$$du=\left( \frac{\partial u}{\partial T}\right) _{v}dT+\left( \frac{\partial u}{\partial v}\right) _{T}dv%$$ (59)

Para un proceso a volumen constante el segundo término es cero puesto que no hay cambio en volumen $dv=0$, tal que

$$du=\left( \frac{\partial u}{\partial T}\right) _{v}dT%$$ (60)

Ahora si escribimos la primera ley para un proceso reversible, con $dw=Pdv$,

$$du=\delta q-Pdv%$$ (61)

vemos que el segundo término es también cero si el proceso es a volumen constante, así

$$du=\delta q%$$ (62)

Al combinar las escuaciones anteriores .(60 y 62) podemos escribir que

$$\delta q=\left( \frac{\partial u}{\partial T}\right) _{v}dT%$$ (63)

y cambiando

$$\left( \frac{\partial u}{\partial T}\right) _{v}=\left( \frac{\partial q}{\partial T}\right) _{v}%$$ (64)

En este caso, cualquier aumento de la energía es debido solamente a la transferencia de energía como calor. Podemos por lo tanto utilizar nuestra definición del calor específico de la ecuación (57) para definir el calor específico para un proceso a volumen constante tal que,

$$c_{v}\equiv\left( \frac{\partial u}{\partial T}\right) _{v}%$$ (65)

Si escribimos $h=h\left( T,P\right)$, y consideramos un proceso a presión constante de la , análogamente podemos obtener el calor específico a presíon constante, así

$$c_{p}\equiv\left( \frac{\partial h}{\partial T}\right) _{p}%$$ (66)

En la obtención $c_{v}$, consideramos solamente un proceso a volumen constante, por lo tanto el nombre, ``calor específico a volumen constante.'' Sin embargo, es más útil pensar $c_{p}$ en términos de su definición como cierta derivada parcial, que es una propiedad termodinámica, más que una cantidad relacionada con la transferencia de calor en un proceso especial. De hecho, las derivadas antedichas se definen en cualquier punto de cualquier proceso cuasiestático tanto si el proceso es a volumen constante o presión constante. Los nombres ``calor específico a volumen constante'' y ``calor específico en la presión constante'' son mal empleados ya que el $c_{v}$ y el $c_{p}$ son en realidad propiedades termodinámicas de una sustancia y por la definición dependen solamente el estado del sistema por loq ue no debería incluir la palabra "calor". Estas propiedades son extremadamente importantes y sus valores se han determinado experimentalmente en función del estado termodinámico para un número enorme de substancias compresibles simples.

Para recapitular:

$$c_{p}\equiv\left( \frac{\partial h}{\partial T}\right) _{p} c_{v}\equiv\left( \frac{\partial u}{\partial T}\right) _{v}%$$ (67)

o bien

$$C_{p}\equiv\left( \frac{\partial H}{\partial T}\right) _{p} C_{v}\equiv\left( \frac{\partial U}{\partial T}\right) _{v} %$$ (68)